On the singular support of the distributional determinant

Abstract

Let $\Omega \subset R^n$ be bounded and open, let $p\geqq n^2/(n+1)$ and let $u:\Omega \to R^n$ be in the Sobolevspace $W^{1,n}(\Omega ;R^n)$. This paper discusses the singular part of the distributional determinant $\mathrm{Det}\mathrm{D}u$ and shows the existence of functions $u$ for which that singular part is supported in a set of prescribed Hausdorff-dimension $\alpha \in (0,n)$. For $n=2$ and simply connected $\Omega$ the problem is equivalent to analyzing $\mathrm{div}(bv)-b.\mathrm{D}v$ where $v\in W^{1,p}(\Omega ;R^2)$ with $\mathrm{div}b=0$.

Résumé

Soit $\Omega \subset R^n$ un ouvert borné, soit $p\geqq n^2/(n+1)$ et soit $u:\Omega \to R^n$ dans l’espace de Sobolev $W^{1,p}(\Omega ;R^n)$. On construit des applications $u$ dont le déterminant au sens de distributions $\mathrm{Det}\mathrm{D}u$ est une mesure de Radon positive, portée par un ensemble singulier dont la dimension de Hausdorff est arbitraire, strictement entre $0$ et $n$.