Abstract

Let Ω ⊂ ℝn be bounded and open, let p ≧ n2/(n + 1) and let u: Ω → ℝn be in the Sobolevspace W1, n (Ω; ℝn). This paper discusses the singular part of the distributional determinant Det Du and shows the existence of functions u for which that singular part is supported in a set of prescribed Hausdorff-dimension α ∈ (0, n). For n = 2 and simply connected Ω the problem is equivalent to analyzing div (bv) − b. Dv where v ∈ W1, p (Ω; ℝ2) with div b = 0.

Résumé

Soit Ω ⊂ ℝn un ouvert borné, soit p ≧ n2/(n + 1) et soit u: Ω → ℝn dans l’espace de Sobolev W1, p (Ω; ℝn). On construit des applications u dont le déterminant au sens de distributions Det Du est une mesure de Radon positive, portée par un ensemble singulier dont la dimension de Hausdorff est arbitraire, strictement entre 0 et n.