JournalsaihpcVol. 24, No. 3pp. 369–393

Traveling waves with paraboloid like interfaces for balanced bistable dynamics

  • Jong-Shenq Guo

    Department of Mathematics, National Taiwan Normal University, 88, S-4, Ting Chou Road, Taipei 116, Taiwan
  • François Hamel

    Université Aix-Marseille III, LATP (UMR CNRS 6632), Faculté des Sciences et Techniques, Avenue Escadrille Normandie-Niemen, 13397 Marseille Cedex 20, France
  • Hirokazu Ninomiya

    Department of Applied Mathematics and Informatics, Ryukoku University, Seta, Otsu 520-2194, Japan
  • Jean-Michel Roquejoffre

    Laboratoire M.I.P. (UMR CNRS 5640) and Institut Universitaire de France, Université Paul Sabatier, 118, route de Narbonne, 31062 Toulouse Cedex 4, France
  • Xinfu Chen

    Department of Mathematics, University of Pittsburgh, Pittsburgh, PA 15260, USA
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Abstract

Cylindrically symmetric traveling waves with paraboloid like interfaces are constructed for reaction–diffusion equations with balanced bistable nonlinearities. It is shown that the interface (a level set) is asymptotically a paraboloid z=c2(n1)x2z = \frac{c}{2(n−1)}|x|^{2}, where (x,z)Rn×R(x,z) \in \mathbb{R}^{n} \times \mathbb{R} (n2n⩾2) is the space variable and c is the speed that the wave travels upwards in the vertical z-direction. In the two-dimensional case (i.e., n=1n = 1), the interface is asymptotically a hyperbolic cosine curve z=Acosh(μx)z = A\mathrm{\cosh }(\mu x) for some positive constants A and μ.

Résumé

Nous montrons l'existence d'ondes progressives à symétrie cylindrique pour des équations de réaction–diffusion dont le terme de réaction est une fonction bistable de moyenne nulle. Les courbes de niveau sont de forme parabolique (ou expontielle en dimension 2 d'espace). Plus précisément, l'interface (n'importe quelle courbe de niveau) se comporte asymptotiquement comme une parabole z=c2(n1)x2z = \frac{c}{2(n−1)}|x|^{2},(x,z)Rn×R(x,z) \in \mathbb{R}^{n} \times \mathbb{R} (n2n⩾2) est la variable d'espace et c est la vitesse de propagation de l'onde dans la direction z. En dimension 2 d'espace (i.e. n=1n = 1), l'interface se comporte asymptotiquement comme un cosinus hyperbolique z=Acosh(μx)z = A\mathrm{\cosh }(\mu x),A et μ sont des constantes strictement positives.

Cite this article

Jong-Shenq Guo, François Hamel, Hirokazu Ninomiya, Jean-Michel Roquejoffre, Xinfu Chen, Traveling waves with paraboloid like interfaces for balanced bistable dynamics. Ann. Inst. H. Poincaré Anal. Non Linéaire 24 (2007), no. 3, pp. 369–393

DOI 10.1016/J.ANIHPC.2006.03.012