Traveling waves with paraboloid like interfaces for balanced bistable dynamics

Abstract

Cylindrically symmetric traveling waves with paraboloid like interfaces are constructed for reaction–diffusion equations with balanced bistable nonlinearities. It is shown that the interface (a level set) is asymptotically a paraboloid $z=\frac{c}{2(n-1)}|x{|}^2$, where $(x,z)\in {\mathbb{R}}^n\times \mathbb{R}$ ($n⩾2$) is the space variable and $c$ is the speed that the wave travels upwards in the vertical $z$-direction. In the two-dimensional case (i.e., $n=1$), the interface is asymptotically a hyperbolic cosine curve $z=A\cosh (\mu x)$ for some positive constants $A$ and $\mu$.

Résumé

Nous montrons l'existence d'ondes progressives à symétrie cylindrique pour des équations de réaction–diffusion dont le terme de réaction est une fonction bistable de moyenne nulle. Les courbes de niveau sont de forme parabolique (ou expontielle en dimension 2 d'espace). Plus précisément, l'interface (n'importe quelle courbe de niveau) se comporte asymptotiquement comme une parabole $z=\frac{c}{2(n-1)}|x{|}^2$, où $(x,z)\in {\mathbb{R}}^n\times \mathbb{R}$ ($n⩾2$) est la variable d'espace et $c$ est la vitesse de propagation de l'onde dans la direction $z$. En dimension 2 d'espace (i.e. $n=1$), l'interface se comporte asymptotiquement comme un cosinus hyperbolique $z=A\cosh (\mu x)$, où $A$ et $\mu$ sont des constantes strictement positives.