A RANS 3D model with unbounded eddy viscosities

Abstract

We consider the Reynolds Averaged Navier–Stokes (RANS) model of order one $(\mathbf{u},p,k)$ set in ${\mathbb{R}}^3$ which couples the Stokes Problem to the equation for the turbulent kinetic energy by $k$-dependent eddy viscosities in both equations and a quadratic term in the $k$-equation. We study the case where the velocity and the pressure satisfy periodic boundary conditions while the turbulent kinetic energy is defined on a cell with Dirichlet boundary conditions. The corresponding eddy viscosity in the fluid equation is extended to ${\mathbb{R}}^3$ by periodicity. Our contribution is to prove that this system has a solution when the eddy viscosities are nondecreasing, smooth, unbounded functions of $k$, and the eddy viscosity in the fluid equation is a concave function.

Résumé

On considère le modèle de turbulence moyenné d'ordre 1 issu des équations de Navier–Stokes (modèle RANS) satisfait par la vitesse moyenne $u$, la pression moyenne $p$ et l'énergie cinétique turbulente $k$ (ECT), le problème étant posé dans ${\mathbb{R}}^3$. On ne considère pas les termes de convection dans ce problème. Les équations pour la vitesse et la pression sont couplées avec l'équation pour l'ECT par des viscosités turbulentes fonctions de l'ECT et un terme quadratique dans le second membre de l'équation pour l'ECT. On considère le cas de conditions aux limites périodiques pour la vitesse et la pression, l'ECT étant définie dans une cellule avec des conditions de Dirichlet homogènes sur le bord et étendue à ${\mathbb{R}}^3$ par périodicité. Les viscosités turbulentes correspondantes sont également étendues à ${\mathbb{R}}^3$ par périodicité. Notre contribution dans ce travail est la preuve de l'existence d'une solution faible assez régulière à ce système, à savoir $H^2$, quand les viscosités turbulentes sont des fonctions croissantes de l'ECT, de classe $C^2$, non bornées et de plus la viscosité dans l'équation du fluide est une fonction concave.