Regularity criteria for the generalized viscous MHD equations

Abstract

In this paper, we consider regularity criteria for solutions to the 3D generalized MHD equations with fractional dissipative term $-(-\mathrm{\Delta }{)}^{\alpha }u$ for the velocity field and $-(-\mathrm{\Delta }{)}^{\beta }b$ for the magnetic field. For the case $\alpha =\beta$, it is proved that if the velocity field belongs to $L^{p,q}$ with $2\alpha /p+3/q⩽2\alpha -1$ or the gradient of velocity field belongs to $L^{p,q}$ with $2\alpha /p+3/q⩽3\alpha -1$ on $[0,T]$, then the solution remains smooth on $[0,T]$. The significance is that there is no restriction on the magnetic field. Moreover, the norms $\Vert u{\Vert }_{L^{p,q}}$ and $\Vert {\Lambda }^{\alpha }u{\Vert }_{L^{p,q}}$ are scaling dimension zero for $2\alpha /p+3/q=2\alpha -1$ and $2\alpha /p+3/q=3\alpha -1$ respectively. For $1⩽\beta ⩽\alpha$, we find that the minimum sum of $\alpha$ and $\beta$ to guarantee the global existence of smooth solutions is $5/2$. Furthermore, we show that the weak solution actually is strong if the corresponding vorticity field $\omega =\nabla \times u$ satisfies certain condition in the high vorticity region.

Résumé

Dans ce papier nous considérons des critères de régularité pour les solutions des équations MHD en 3D généralisées avec un terme de dissipation fractionnel $-(-\mathrm{\Delta }{)}^{\alpha }u$ pour le champ de vitesse et un terme $-(-\mathrm{\Delta }{)}^{\beta }b$ pour le champ magnétique. Pour le cas $\alpha =\beta$, il est démontré que si le champ de vitesse est dans $L^{p,q}$ avec $2\alpha /p+3/q⩽2\alpha -1$ ou le gradient de la vitesse est dans $L^{p,q}$ avec $2\alpha /p+3/q⩽3\alpha -1$ sur $[0,T]$, alors la solution reste régulière sur $[0,T]$. Il est important de noter qu'il n'y a pas de restriction sur le champ magnétique. En plus, les normes $\Vert u{\Vert }_{L^{p,q}}$ et $\Vert {\Lambda }^{\alpha }u{\Vert }_{L^{p,q}}$ ont une dimension sous changement d'échelle égale à zéro pour $2\alpha /p+3/q=2\alpha -1$ et pour $2\alpha /p+3/q=3\alpha -1$ respectivement. Pour $1⩽\beta ⩽\alpha$, nous trouvons que la somme minimale de $\alpha$ et $\beta$ qui garantit l'existence globale de solutions régulières est $5/2$. En plus nous montrons que les solutions faibles sont des solutions fortes si le champ de vorticité correspondant $\omega =\nabla \times u$ satisfait une certaine condition dans la région de vorticité.