Chute stationnaire d’un solide dans un fluide visqueux incompressible le long d’un plan incliné

Abstract

The three-dimensional space is filled by a Newtonian fluid above a fixed ramp. A spherical solid body falls in the fluid under the action of the gravity. We are interested in permanent regimes, in which gravity and the action of the stress tensor of the fluid on the solid compensate. We prove that there exist such regimes, in which some parameters are given (including the gravity, the velocity of the solid and its distance to the ramp), but others, such the mass and the angular velocity, are determined by the motion.

We encounter two main difficulties. First in establishing a (non-explicit) a priori estimate. Last, because we are not able to convert the problem into the search of a zero of some outgoing vector field in a ball.

Résumé

Un demi-espace, dont le bord est un plan incliné, est rempli d’un liquide Newtonien. Un solide spherique tombe dans le liquide, sous l’action de la gravité. Nous considérons ici le régime permanent, dans lequel la gravité et le tenseur des contraintes exercées par le fluide sur le solide se compensent. Le solide est donc en translation uniforme parallèle au bord, avec une rotation propre à vitesse constante.

Nous prouvons qu’il existe un tel régime, dans lequel certains parametres sont donnés (en particulier la gravité, la vitesse du solide et sa distance au bord) tandis que d’autres, tels que la masse du solide et sa vitesse angulaire, font partie des inconnues.

La difficulté essentielle est l’estimation a priori, qui n’est pas explicite. En particulier, nous ne sommes pas capables de ramener le problème, ou un problème approché, à la recherche d’un zéro d’un champ de vecteur sortant sur une boule.