Multiple positive solutions for singularly perturbed elliptic problems in exterior domains

Abstract

The equation $-{\epsilon }^2\Delta u+a_{\epsilon }(x)u=u^{p-1}$ with boundary Dirichlet zero data is considered in an exterior domain $\Omega ={\mathbb{R}}^N\backslash \bar{\omega }$ ($\omega$ bounded and $N⩾2$). Under the assumption that $a_{\epsilon }⩾a_0>0$ concentrates round a point of $\Omega$ as $\epsilon \to 0$, that $p>2$ and $p<2N/(N-2)$ when $N⩾3$, the existence of at least three positive distinct solutions is proved.

Résumé

Dans cet article on étude l’équation $-{\epsilon }^2\Delta u+a_{\epsilon }(x)u=u^{p-1}$ dans l’ouvert extérieur $\Omega ={\mathbb{R}}^N\backslash \bar{\omega }$ ($\omega$ borné et $N⩾2$), avec la condition de Dirichlet $u=0$ sur $\partial \Omega$. En supposant que $a_{\epsilon }⩾a_0>0$ se concentre autour d’un point du domaine $\Omega$ quand $\epsilon \to 0$, que $p>2$ et que $p<2N/(N-2)$ quand $N⩾3$, on démontre que le problème possède au moins trois solutions distinctes.