Homoclinic bifurcations and uniform hyperbolicity for three-dimensional flows

Abstract

In this paper we prove that any $C^1$ vector field defined on a three-dimensional manifold can be approximated by one that is uniformly hyperbolic, or that exhibits either a homoclinic tangency or a singular cycle. This proves an analogous statement of a conjecture of Palis for diffeomorphisms in the context of $C^1$-flows on three manifolds. For that, we rely on the notion of dominated splitting for the associated linear Poincaré flow.

Résumé

On prouve que tout champ de vecteurs $C^1$ défini sur une variété de dimension trois peut être approché par un qui est uniformément hyperbolique ou bien par un qui présente soit une tangence homocline soit un cycle singulier. Ceci prouve, dans le contexte des flots $C^1$ sur les variétés de dimension trois, l’analogue d’une conjecture de Palis concernant les difféomorphismes. On s’appuie sur la notion de décomposition dominée pour le flot linéaire de Poincaré associé.