Homoclinic bifurcations and uniform hyperbolicity for three-dimensional flows

  • Federico Rodriguez Hertz

    Facultad de Ingenierı́a (IMERL) Av. Julio Herrera y Reissig 565 CP 11300, Montevideo, Uruguay
  • Aubin Arroyo

    Instituto de Matemáticas, UNAM (Unidad Cuernavaca) Universidad Nacional Autónoma de México, A.P. 273 Admon de correos # 3 C.P. 62251, Cuernavaca Morelos, Mexico

Abstract

In this paper we prove that any C1 vector field defined on a three-dimensional manifold can be approximated by one that is uniformly hyperbolic, or that exhibits either a homoclinic tangency or a singular cycle. This proves an analogous statement of a conjecture of Palis for diffeomorphisms in the context of C1-flows on three manifolds. For that, we rely on the notion of dominated splitting for the associated linear Poincaré flow.

Résumé

On prouve que tout champ de vecteurs C1 défini sur une variété de dimension trois peut être approché par un qui est uniformément hyperbolique ou bien par un qui présente soit une tangence homocline soit un cycle singulier. Ceci prouve, dans le contexte des flots C1 sur les variétés de dimension trois, l’analogue d’une conjecture de Palis concernant les difféomorphismes. On s’appuie sur la notion de décomposition dominée pour le flot linéaire de Poincaré associé.

Cite this article

Federico Rodriguez Hertz, Aubin Arroyo, Homoclinic bifurcations and uniform hyperbolicity for three-dimensional flows. Ann. Inst. H. Poincaré Anal. Non Linéaire 20 (2003), no. 5, pp. 805–841

DOI 10.1016/S0294-1449(03)00016-7