On critical exponents for the Pucci’s extremal operators

Abstract

In this article we study some results on the existence of radially symmetric, non-negative solutions for the nonlinear elliptic equation

Here $N⩾3$, $p>1$ and ${\mathcal{M}}_{\lambda ,\Lambda }^{+}$ denotes the Pucci’s extremal operators with parameters $0<\lambda ⩽\Lambda$. The goal is to describe the solution set in function of the parameter $p$. We find critical exponents $1<p_{+}^{\ast }<p_{+}^p$ that satisfy: (i) If $1<p<p_{+}^{\ast }$ then there is no non-trivial radial solution of ($\ast$). (ii) If $p=p_{+}^{\ast }$ then there is a unique fast decaying radial solution of ($\ast$). (iii) If $p_{+}^{\ast }<p\le p_{+}^p$ then there is a unique pseudo-slow decaying radial solution to ($\ast$). (iv) If $p_{+}^p<p$ then there is a unique slow decaying radial solution to ($\ast$). Similar results are obtained for the operator ${\mathcal{M}}_{\lambda ,\Lambda }^{-}$.

Résumé

Dans cet article nous avons étudié quelques résultats d’existence des solutions radiales non négatives pour l’équation elliptique non linéaire

Ici $N⩾3$, $p>1$ et ${\mathcal{M}}_{\lambda ,\Lambda }^{+}$ est l’opérateur extrémal de Pucci avec les paramètres $0<\lambda ⩽\Lambda$. L’objectif est de décrire l’ensemble des solutions en fonction de $p$. On trouve des exposants critiques $1<p_{+}^{\ast }<p_{+}^p$ tels que : (i) Si $1<p<p_{+}^{\ast }$, alors il n’existe pas de solution radiale non triviale de ($\ast$). (ii) Si $p=p_{+}^{\ast }$, il existe une unique solution radiale de ($\ast$) à décroissance rapide. (iii) Si $p^{\ast }<p⩽p_{+}^p$, il existe une unique solution radiale de ($\ast$) à décroissance pseudo-lente. (iv) Si $p_{+}^p<p$, il existe une unique solution radiale de ($\ast$) à décroissance lente.

Un résultat similaire est obtenu pour l’opérateur ${\mathcal{M}}_{\lambda ,\Lambda }^{-}$.