Nonlinear problems with solutions exhibiting a free boundary on the boundary

Abstract

We prove existence of nonnegative solutions to $-\mathrm{\Delta }u+u=0$ on a smooth bounded domain $\Omega$ subject to the singular boundary derivative condition $\frac{\partial u}{\partial \nu }=-u^{-\beta }+\lambda f(x,u)$ on $\partial \Omega \cap \{u>0\}$ with $0<\beta <1$. There is a constant ${\lambda }^{\ast }$ such that for $0<\lambda <{\lambda }^{\ast }$ every nonnegative solution vanishes on a subset of the boundary with positive surface measure. For $\lambda >{\lambda }^{\ast }$ we show the existence of a maximal positive solution. We analyze its linearized stability and its regularity. Minimizers of the energy functional related to the problem are shown to be regular and satisfy the equation together with the boundary condition.

Résumé

Nous démontrons l'existence de solutions $u⩾0$ de l'équation $-\mathrm{\Delta }u+u=0$ sur un domaine borné régulier $\Omega$ avec la condition de Neumann singulière suivante : $\frac{\partial u}{\partial \nu }=-u^{-\beta }+\lambda f(x,u)$ sur $\partial \Omega \cap \{u>0\}$ oú $0<\beta <1$. Il existe une constante ${\lambda }^{\ast }$ telle que pour $0<\lambda <{\lambda }^{\ast }$, toute solution $u⩾0$ s'annule sur une partie du bord, de mesure (surfacique) strictement positive. Pour $\lambda >{\lambda }^{\ast }$, nous démontrons l'existence d'une solution maximale positive. Nous analysons ses propriétés de stabilité linéaire et de régularité. On démontre que les minimiseurs de la fonctionnelle d'énergie associée sont réguliers et vérifient l'équation ainsi que la condition de bord.