Conditions nécessaires et suffisantes d’existence de solutions en calcul des variations

  • J.-P. Raymond

    Laboratoire d’Analyse Numérique, Université Paul-Sabatier, 118, route de Narbonne, 31062 Toulouse Cedex

Abstract

Résumé

On s’intéresse au problème de Calcul des Variations dans :

avec 1 < q < ∞ et f régulière mais non convexe.

On démontre que si n’admet pas de solution, il existe une extrémale γ du problème relaxé telle que l’intégrande définissant soit affine en γ′(t) et strictement convexe en γ(t) pour tout t appartenant à un intervalle inclus dans [a, b].

On en déduit une condition nécessaire et suffisante sur f pour que admette au moins une solution quelles que soient les conditions aux limites (théorème 6.11).

On étudie ensuite la généricité des hypothèses faites sur f, (théorème 7.3).

We consider the problem of Calculus of Variations in :

with 1 < q < ∞ and f regular but non convex.

We prove that if does not admit a solution, there exist an extremal γ of the relaxed problem such that the integrand which determine is affine in γ′(t) and strictly convex in γ(t) for all t of some interval included in [a, b].

Then, we obtain a necessary and sufficient condition for to admit at least one solution for every boundary conditions (theorem 6.11). We next study the genericity of assumptions on f (theorem 7.3).

Cite this article

J.-P. Raymond, Conditions nécessaires et suffisantes d’existence de solutions en calcul des variations. Ann. Inst. H. Poincaré Anal. Non Linéaire 4 (1987), no. 2, pp. 169–202

DOI 10.1016/S0294-1449(16)30371-7