Conditions nécessaires et suffisantes d’existence de solutions en calcul des variations

Abstract

We consider the problem of Calculus of Variations in $R$:

with $1<q<\infty$ and $f$ regular but non convex.

We prove that if $\mathcal{P}$ does not admit a solution, there exist an extremal $\gamma$ of the relaxed problem $\mathcal{PR}$ such that the integrand which determine $\mathcal{PR}$ is affine in ${\gamma }^{\prime }(t)$ and strictly convex in $\gamma (t)$ for all $t$ of some interval included in $[a,b]$.

Then, we obtain a necessary and sufficient condition for to admit at least one solution for every boundary conditions (Theorem 6.11). We next study the genericity of assumptions on $f$ (Theorem 7.3).

Résumé

On s’intéresse au problème de Calcul des Variations dans $R$ :

avec $1<q<\infty$ et $f$ régulière mais non convexe.

On démontre que si $\mathcal{P}$ n’admet pas de solution, il existe une extrémale $\gamma$ du problème relaxé $\mathcal{PR}$ telle que l’intégrande définissant $\mathcal{PR}$ soit affine en ${\gamma }^{\prime }(t)$ et strictement convexe en $\gamma (t)$ pour tout $t$ appartenant à un intervalle inclus dans $[a,b]$.

On en déduit une condition nécessaire et suffisante sur $f$ pour que admette au moins une solution quelles que soient les conditions aux limites (théorème 6.11).

On étudie ensuite la généricité des hypothèses faites sur $f$, (théorème 7.3).