Mappings of finite distortion: discreteness and openness for quasi-light mappings

Abstract

Let $f\in W^{1,n}(\Omega ,{\mathbb{R}}^n)$ be a continuous mapping so that the components of the preimage of each $y\in {\mathbb{R}}^n$ are compact. We show that $f$ is open and discrete if $|Df(x){|}^n⩽K(x)J_f(x)$ a.e. where $K(x)⩾1$ and $K^{n-1}/\Phi (\log (e+K))\in L^1(\Omega )$ for a function $\Phi$ that satisfies ${\int }_1^{\infty }1/\Phi (t)\mathrm{d}t=\infty$ and some technical conditions. This divergence condition on $\Phi$ is shown to be sharp.

Résumé

Soit $f\in W^{1,n}(\Omega ,{\mathbb{R}}^n)$ une application continue telle que les composantes connexes de la préimage de tat point $y\in {\mathbb{R}}^n$ est compacte. On démontre que $f$ est ouverte et discrète si $|Df(x){|}^n⩽K(x)J_f(x)$ p.p. oi $K(x)⩾1$ et $K^{n-1}/\Phi (\log (e+K))\in L^1(\Omega )$ pour une fonction $\Phi$ telle que ${\int }_1^{\infty }1/\Phi (t)\mathrm{d}t=\infty$ et vérifiant des conditions techniques. La condition de divergence de l'intégrale est optimale.