Three nodal solutions of singularly perturbed elliptic equations on domains without topology

Abstract

We prove the existence of three nodal solutions of the Dirichlet problem for the singularly perturbed equation $-\varepsilon \mathrm{\Delta }u+u=f(u)$ for $\varepsilon >0$ small on any bounded domain $\Omega \subset {\mathbb{R}}^N$. The nonlinearity $f$ grows superlinearly and subcritically. We do not require symmetry conditions nor conditions on the geometry or the topology of the domain. Two solutions have precisely two nodal domains, and the third solution has at most three nodal domains. A corresponding result holds true for the semilinear equation $-\mathrm{\Delta }u+u=f(u)$ on $\Omega$ provided $\Omega$ contains a large ball.

Résumé

Nous prouvons l'existence de trois solutions nodales du problème de Dirichlet pour l'équation $-\varepsilon \mathrm{\Delta }u+u=f(u)$ avec $\varepsilon >0$ petit dans tous les domaines bornés $\Omega \subset {\mathbb{R}}^N$. La nonlinéarité $f$ est sur-linéaire et sous-critique. Nous n'avons pas besoin de conditions de symétrie ni de conditions géométriques ou de conditions liées à la topologie du domaine. Deux solutions admettent exactement deux domaines nodeaux et la troisiems admet au plus trois domaines nodeaux. Un résultat correspondant est valide pour l'équation semi-linéaire $-\mathrm{\Delta }u+u=f(u)$ dans le cas où $\Omega$ contient une grande boule.