Stable approximations of set-valued maps

Abstract

The celebrated Lax’ principle “stability and consistency implies convergence” is adapted to the case of nonlinear equation and even inclusions (multivalued equations) through a convenient concept of stability. It requires the definition of “contingent derivative” of single or set-valued maps and states that a family of maps is stable if and only if the inverses of their contingent derivatives are bounded.

An extension of the Banach-Steinhauss theorem to the set-valued analogues of continuous linear operators is also provided, as well as relations between pointwise and graph convergence of sequences of set-valued maps.

Résumé

Le célèbre principe de Lax: « stabilité et consistence impliquent convergence » est adapté au cas des équations non linéaires et même des inclusions (équations multivoques) grâce à une définition adéquate de la stabilité. Celle-ci est basée sur le concept de « dérivée contingente » d’une correspondance. On dit qu’une famille de correspondances est stable si les inverses de leurs dérivées contingentes sont bornés.

On démontre aussi une adaptation du théorème de Banach-Steinhauss au cas des processus convexes fermés, qui sont les analogues multivoques des opérateurs linéaires continus, et on examine les relations entre convergence simple et convergence graphique d’une suite de correspondances.