Self-similar solutions with fat tails for Smoluchowski's coagulation equation with singular kernels

  • J.J.L. Velázquez

    Institute of Applied Mathematics, University of Bonn, Endenicher Allee 60, 53115 Bonn, Germany
  • B. Niethammer

    Institute of Applied Mathematics, University of Bonn, Endenicher Allee 60, 53115 Bonn, Germany
  • S. Throm

    Institute of Applied Mathematics, University of Bonn, Endenicher Allee 60, 53115 Bonn, Germany

Abstract

We show the existence of self-similar solutions with fat tails for Smoluchowski's coagulation equation for homogeneous kernels satisfying with and . This covers especially the case of Smoluchowski's classical kernel .

For the proof of existence we take a self-similar solution for a regularized kernel and pass to the limit to obtain a solution for the original kernel K. The main difficulty is to establish a uniform lower bound on . The basic idea for this is to consider the time-dependent problem and to choose a special test function that solves the dual problem.

Résumé

Nous démontrons l'existence des solutions auto-similaires avec queues lourdes pour l'équation de coagulation de Smoluchowski avec un noyau K satisfaisant avec et . Cela contient en particulier le noyau classique de Smoluchowski .

Pour la démonstration de l'existence nous prenons une solution auto-similaire pour un noyau régularisé et nous obtenons une solution pour le noyau original K en passant à la limite . La difficulté principale consiste à établir une borne inférieure pour . La clé ici est de considérer le problème dépendant du temps et choisir une solution du problème dual comme fonction test dans la formulation faible de l'équation auto-similaire.

Cite this article

J.J.L. Velázquez, B. Niethammer, S. Throm, Self-similar solutions with fat tails for Smoluchowski's coagulation equation with singular kernels. Ann. Inst. H. Poincaré Anal. Non Linéaire 33 (2016), no. 5, pp. 1223–1257

DOI 10.1016/J.ANIHPC.2015.04.002