Self-similar solutions with fat tails for Smoluchowski's coagulation equation with singular kernels

Abstract

We show the existence of self-similar solutions with fat tails for Smoluchowski's coagulation equation for homogeneous kernels satisfying $C_1\left(x^{-a}{y}^b+x^b{y}^{-a}\right)\le K\left(x,y\right)\le C_2\left(x^{-a}{y}^b+x^b{y}^{-a}\right)$ with $a>0$ and $b<1$. This covers especially the case of Smoluchowski's classical kernel $K(x,y)=(x^{1/3}+y^{1/3})(x^{-1/3}+y^{-1/3})$.

For the proof of existence we take a self-similar solution $h_{\epsilon }$ for a regularized kernel $K_{\epsilon }$ and pass to the limit $\epsilon \to 0$ to obtain a solution for the original kernel $K$. The main difficulty is to establish a uniform lower bound on $h_{\epsilon }$. The basic idea for this is to consider the time-dependent problem and to choose a special test function that solves the dual problem.

Résumé

Nous démontrons l'existence des solutions auto-similaires avec queues lourdes pour l'équation de coagulation de Smoluchowski avec un noyau $K$ satisfaisant $C_1\left(x^{-a}{y}^b+x^b{y}^{-a}\right)\le K\left(x,y\right)\le C_2\left(x^{-a}{y}^b+x^b{y}^{-a}\right)$ avec $a>0$ et $b<1$. Cela contient en particulier le noyau classique de Smoluchowski $K(x,y)=(x^{1/3}+y^{1/3})(x^{-1/3}+y^{-1/3})$.

Pour la démonstration de l'existence nous prenons une solution auto-similaire $h_{\epsilon }$ pour un noyau régularisé $K_{\epsilon }$ et nous obtenons une solution pour le noyau original $K$ en passant à la limite $\epsilon \to 0$. La difficulté principale consiste à établir une borne inférieure pour $h_{\epsilon }$. La clé ici est de considérer le problème dépendant du temps et choisir une solution du problème dual comme fonction test dans la formulation faible de l'équation auto-similaire.