Minimax principles for lower semicontinuous functions and applications to nonlinear boundary value problems

Abstract

Let $\mathrm{X}$ be a real Banach space and $I$ a function on $\mathrm{X}$ such that $I=\Phi +\psi$ with $\mathrm{\Phi }\in {\mathrm{C}}^1\left(\mathrm{X},\mathrm{R}\right)$ and $\psi :X\to (-\infty ,+\infty ]$ convex, proper and lower semicontinuous. A point $u\in \mathrm{X}$ is said to be critical if $\psi (u)\ne +\infty$ and $\langle {\Phi }^{\prime }(u),v-u\rangle +\psi (v)-\psi (u)\geqq 0$ $\forall v\in \mathrm{X}$. The paper contains a number of existence theorems for critical points of functions of the above mentioned type. Critical levels of saddle type are characterized by minimax principles. The results are applied to variational inequalities and variational equations with single- and multivalued operators, which arise from studying certain elliptic boundary value problems.

Résumé

Soit $\mathrm{X}$ un espace de Banach et $I$ une fonction sur $\mathrm{X}$ de la forme $I=\Phi +\psi$, où $\Phi$ est $C^1$ et $\psi$ est convexe s. c. i., pouvant prendre la valeur $+\infty$. On définit une notion naturelle de point critique, et l’on démontre des théorèmes d’existence par des méthodes de minimax, du type Liusternik–Schnivelman. On applique ces résultats à des équations et inéquations variationnelles de type elliptique.