Smooth invariant curves of singularities of vector fields on $R^3$

Abstract

We describe singularities of $C^{\infty }$ vector fields, mainly in $R^3$, in the neighbourhood of a given « generalized » direction (this is: the image of a $C^{\infty }$ germ $\gamma :(R^{+},0)\to (R^3,0)$ with ${\gamma }^{\prime }(0)\ne 0$). It is a local study. One of the major results is: if $X$ is a germ in $0\in R^3$ of a $C^{\infty }$ vector field and if $X$ is not infinitely flat along a direction $D$, then there exists a cone of finite contact around $D$ in which four specific situations can occur. In three of these situations $D$ is formally invariant under $X$ (with formally we mean: up to the level of formal Taylor series) and there exists a $C^{\infty }$ one-dimensional invariant manifold having infinite contact with $D$. In particular, we obtain that the existence of a formally invariant direction $D$ always implies the existence of a « real life » invariant direction having infinite contact with $D$, provided that $X$ is not infinitely flat along $D$. Using the blowing up method for singularities of vector fields we reduce a singularity always to either a « flow box » or to a singularity with nonzero 1-jet and with a formally invariant direction. Finally we give topological models for the obtained situations.

I would like to thank Freddy Dumortier for suggesting me the problem and for his valuable help.

Résumé

Nous décrivons les singularités de champs de vecteurs $C^{\infty }$ dans $R^3$ au voisinage d’une « direction » donnée, c’est-à-dire de l’image d’un germe $\gamma :(R^{+},0)\to (R^3,0)$, avec ${\gamma }^{\prime }(0)\ne 0$. C’est une étude locale. Nous montrons en particulier que si $X$ est le germe àl’origine d’un champ $C^{\infty }$ et si $X$ n’est pas plat dans une direction $D$, alors il existe un cône de contact d’ordre fini autour de $D$ où quatre situations distinctes peuvent se produire. Dans trois d’entre elles, $D$ est formellement invariant par $X$ et il existe une courbe invariante $C^{\infty }$ présentant un contact d’ordre infini avec $D$. En utilisant la méthode de blow-up pour les singularités de champs de vecteurs, nous réduisons toutes les singularités soit à un « flow box », soit à une singularité au 1-jet non trivial possédant une direction formellement invariante. Enfin, nous fournissons des modèles topologiques pour les diverses situations obtenues.

Je remercie Freddy Dumortier pour m’avoir suggéré ce problème et pour son aide.