Lagrangian embeddings and critical point theory

Abstract

We derive a lower bound for the number of intersection points of an exact Lagrangian embedding of a compact manifold into its cotangent bundle with the zero section. To do this the intersection problem is converted into the problem of finding solutions of a Hamiltonian system satisfying canonical boundary conditions. The dynamical problem is then solved by global variational methods on a Hilbert manifold.

Résumé

Soit $M$ une variété différentiable, compacte et connexe, $T^{\ast }M\to M$ son fibré cotangent, $\sigma :M\to T^{\ast }M$ la section nulle, $\phi :M\to T^{\ast }M$ un plongement lagrangien. Cet article démontre que $\phi (M)\cap \sigma (M)$ contient du moins $c(M)$ points, où $c(M)$ est la catégorie cohomologique de $M$. Dans le cas $M=T^n$, tore à $n$ dimensions, ce résultat avait été conjecturé par Arnold et démontré par M. Chaperon.