On the definition and the lower semicontinuity of certain quasiconvex integrals

Abstract

Let us consider vector-valued functions $u:\mathrm{\Omega }\to {\mathrm{R}}^{\mathrm{N}}$, defined in an open bounded set $\mathrm{\Omega }\subset {\mathrm{R}}^n$. Let $f(x,\xi )$ be a continuous function in $\mathrm{\Omega }\times {\mathrm{R}}^{n\mathrm{N}}$, quasiconvex with respect on $\xi$, that satisfies, for some $p\leqq q$, the growth conditions $c_1|\xi {|}^p\leqq f(x,\xi )\leqq c_2(1+|\xi {|}^q)$.

The integral $\mathrm{I}(u)={\int }_{\mathrm{\Omega }}f(x,\mathrm{D}u(x))dx$ is well defined if $u\in {\mathrm{H}}^{1,q}(\mathrm{\Omega };{\mathrm{R}}^{\mathrm{N}})$. We extend the integral $\mathrm{I}(u)$ to functions $u\in {\mathrm{H}}^{1,p}(\mathrm{\Omega };{\mathrm{R}}^{\mathrm{N}})$, and we study its lower semicontinuity in the weak topology of ${\mathrm{H}}^{1,p}(\mathrm{\Omega };{\mathrm{R}}^{\mathrm{N}})$, in order to obtain existence of minima.

Résumé

Soit $\mathrm{\Omega }\subset {\mathrm{R}}^n$ un ouvert borné et soit $u:\mathrm{\Omega }\to {\mathrm{R}}^{\mathrm{N}}$. Soit $f(x,\xi )$ une fonction continue sur $\mathrm{\Omega }\times {\mathrm{R}}^{n\mathrm{N}}$, quasi-convexe en $\xi$ et qui satisfait à la condition $c_1{\left|\xi \right|}^p\leqq f(x,\xi )\leqq c_2(1+{\left|\xi \right|}^q)$ avec $p\leqq q$.

L’intégrale $\mathrm{I}(u)={\int }_{\mathrm{\Omega }}f(x,\mathrm{D}u(x))dx$ est bien définie si $u\in {\mathrm{H}}^{1,q}(\mathrm{\Omega };{\mathrm{R}}^{\mathrm{N}})$. On étend l’intégrale $\mathrm{I}(u)$ aux fonctions $u\in {\mathrm{H}}^{1,p}(\mathrm{\Omega };{\mathrm{R}}^{\mathrm{N}})$ et on étudie la semi-continuité dans la topologie faible de ${\mathrm{H}}^{1,p}(\mathrm{\Omega };{\mathrm{R}}^{\mathrm{N}})$ pour obtenir l’existence de minimum.