On a non linear partial differential equation having natural growth terms and unbounded solution

Abstract

We prove the existence of a solution of the nonlinear elliptic equation: $A(u)+g(x,u,\mathrm{D}u)=h(x)$, where $A$ is a Leray–Lions operator from ${\mathrm{W}}_0^{1,p}\left(\mathrm{\Omega }\right)$ into $W^{-1,p^{\prime }}(\Omega )$ and $g$ is a nonlinear term with “natural” growth with respect to $\mathrm{D}u$ [i.e. such that $|g(x,u,\xi )|\leqq b(|u|)(|\xi {|}^p+c(x))$], satisfying the sign condition $g(x,u,\xi )u\geqq 0$ but no growth condition with respect to $u$. Here $h$ belongs to $W^{-1,p^{\prime }}(\Omega )$, thus the solution $u$ of the problem does not in general be more smooth than ${\mathrm{W}}_0^{1,p}\left(\mathrm{\Omega }\right)$. The existence of a solution is also proved for the corresponding obstacle problem.

Résumé

Nous démontrons l’existence d’une solution du problème elliptique non linéaire $A(u)+g(x,u,\mathrm{D}u)=h(x)$, où $A$ est un opérateur de Leray–Lions de ${\mathrm{W}}_0^{1,p}\left(\mathrm{\Omega }\right)$ à valeurs dans $W^{-1,p^{\prime }}(\Omega )$ et où $g$ est un terme non linéaire à croissance « naturelle » en $\mathrm{D}u$ [i.e. tel que $|g(x,u,\xi )|\leqq b(|u|)(|\xi {|}^p+c(x))$], qui satisfait la condition de signe $g(x,u,\xi )u\geqq 0$ mais dont la croissance en $u$ n’est pas limitée. Le second membre $h$ appartient à $W^{-1,p^{\prime }}(\Omega )$, et la solution $u$ du problème n’est donc pas, en général, plus régulière que ${\mathrm{W}}_0^{1,p}(\mathrm{\Omega })$. Nous démontrons également l’existence d’une solution pour l’inéquation variationnelle avec obstacle associée à ce problème.