Finite dimensional behavior for weakly damped driven Schrödinger equations

Abstract

We study the long time behavior of nonlinear Schrödinger equations with a zero order dissipation when they are driven by an external force. We show that this behavior is described by an attractor which captures all the trajectories. One of our main results concerns the estimate of the uniform Lyapunov exponents on this attractor, which allows us to prove its finite dimensional character.

Résumé

Nous étudions le comportement asymptotique, lorsque le temps tend vers l’infini, des solutions des équations de Schrödinger non linéaires, avec dissipation d’ordre zéro et en présence d’une force extérieure. Nous montrons que ce comportement est décrit par un attracteur qui capture toutes les trajectoires. Un de nos résultats principaux concerne l’estimation des exposants de Lyapunov uniformes sur cet attracteur.

Celle-ci nous permet d’établir, en particulier, que cet ensemble est de dimension finie.