Structurally stable perturbations of polynomials in the Riemann sphere

Abstract

The perturbations of complex polynomials of one variable are considered in a wider class than the holomorphic one. It is proved that under certain conditions on a polynomial $p$ of the plane, the $C^r$ conjugacy class of a map $f$ in a $C^1$ neighborhood of $p$ depends only on the geometric structure of the critical set of $f$. This provides the first class of examples of structurally stable maps with critical points and nontrivial nonwandering set in dimension greater than one.

Résumé

Nous considérons les perturbations des polynômes complexes en une variable dans une classe plus vaste que la classe holomorphe. Si $f$ est une application appartenant à un voisinage $C^1$ d'un polynôme $p$ du plan, nous prouvons, sous certaines conditions sur $p$, que la classe de conjugaison $C^r$ de $f$ ne dépend que de la structure géométrique du lieu critique de $f$. Ceci fournit la première classe d'exemples, en dimension supérieure à une, d'applications structurellement stables ayant des points critiques et un ensemble nonerrant nontrivial.