Multiple clustered layer solutions for semilinear Neumann problems on a ball

Abstract

We consider the following singularly perturbed Neumann problem

where $\Omega =B_1(0)$ is the unit ball in ${\mathbb{R}}^n$, $\varepsilon >0$ is a small parameter and f is superlinear. It is known that this problem has multiple solutions (spikes) concentrating at some points of $\bar{\Omega }$. In this paper, we prove the existence of radial solutions which concentrate at N spheres ${\bigcup }_{j=1}^N\{|x|=r_j^{\varepsilon }\}$, where $1>r_1^{\varepsilon }>r_2^{\varepsilon }>\cdots >r_N^{\varepsilon }$ are such that $1-r_1^{\varepsilon }\sim \varepsilon \log \frac{1}{\varepsilon }\text{,}{r}_{j-1}^{\varepsilon }-r_j^{\varepsilon }\sim \varepsilon \log \frac{1}{\varepsilon }\text{,}j=2\text{,}\dots \text{,}N$.

Résumé

On considère le problème de Neumann singulièrement perturbé suivant

où $\Omega =B_1(0)$ est la boule unité de ${\mathbb{R}}^n$, $\varepsilon >0$ est un paramètre petit et f est surlinéaire. Il est bien connu que ce problème possède plusieurs solutions se concentrant en certains points de $\bar{\Omega }$. Dans cet article nous prouvons l'existence de solutions radiales qui se concentrent en N sphères ${\bigcup }_{j=1}^N\{|x|=r_j^{\varepsilon }\}$, où $1>r_1^{\varepsilon }>r_2^{\varepsilon }>\cdots >r_N^{\varepsilon }$ sont tels que $1-r_1^{\varepsilon }\sim \varepsilon \log \frac{1}{\varepsilon }\text{,}{r}_{j-1}^{\varepsilon }-r_j^{\varepsilon }\sim \varepsilon \log \frac{1}{\varepsilon }\text{,}j=2\text{,}\dots \text{,}N$.