Weak solutions to a nonlinear variational wave equation with general data

Abstract

We establish the existence of global weak solutions to the initial value problem for a nonlinear variational wave equation $u_{tt}-c(u)(c(u)u_x{)}_x=0$ with general initial data $(u(0)\text{,}{u}_t(0))=(u_0\text{,}{u}_1)\in W^{1\text{,}2}\times L^2$ under the assumptions that the wave speed $c(u)$ satisfies $c^{\prime }(\cdot )⩾0$ and $c^{\prime }(u_0(\cdot ))>0$. Moreover, we obtain high regularity for the spatial derivative ${\partial }_{x}u$ of the wave amplitude $u$ away from where $c^{\prime }(u)=0$. This equation arises from studies in nematic liquid crystals, long waves on a dipole chain, and a few other fields. We use Young measure method in the setting of $L^p$ spaces and method of renormalization to overcome the difficulty that oscillations in a sequence of approximations get amplified by the quadratic growth term of the equation. We use a high space-time estimate for ${\partial }_{x}u$ to handle possible concentrations. This result improves our earlier existence result for initial data in the space $W^{1\text{,}\infty }\times L^{\infty }$ to the natural space $W^{1\text{,}2}\times L^2$.

Résumé

Nous prouvons l'éxistence de solutions faibles globales pour le problème de Cauchy concernant une équation des ondes non variationnelles $u_{tt}-c(u)(c(u)u_x{)}_x=0$ avec des conditions initiales générales $(u(0)\text{,}{u}_t(0))=(u_0\text{,}{u}_1)\in W^{1\text{,}2}\times L^2$ sous l'hypothèse que la vitesse d'onde $c(u)$ vérifie $c^{\prime }(\cdot )⩾0$ et $c^{\prime }(u_0(\cdot ))>0$. De plus, nous obtenons une régularité élevée pour la dérivée spatiale ${\partial }_{x}u$ de l'amplitude $u$ de l'onde loin de la zone où $c^{\prime }(u)=0$. Cette équation intervient dans l'étude des crystaux liquides nématiques, d'ondes longues dans des chaînes dipolaires et de quelques autres domaines. Nous utilisons la méthode des mesures de Young dans le contexte d'espaces $L^p$ et la méthode de renormalisation pour résoudre la difficulté de l'amplification par les termes à croissance quadratique de l'équation, des oscillations d'une suite d'approximations. Nous nous servons d'une estimée d'ordre élevé en espace et en temps pour ${\partial }_{x}u$ afin de traiter les concentrations éventuelles. Ce résultat étend nos résultats d'éxistence antérieurs pour des données initiales dans l'espace $W^{1\text{,}\infty }\times L^{\infty }$ au cas naturel de l'espace $W^{1\text{,}2}\times L^2$.