Quasiharmonic fields

Abstract

To every solution of an elliptic PDE there corresponds a quasiharmonic field $\mathcal{F}=[B,E]$ − a pair of vector fields with $\mathrm{div}B=0$ and $\mathrm{curl}E=0$ which are coupled by a distortion inequality. Quasiharmonic fields capture all the analytic spirit of quasiconformal mappings in the complex plane. Among the many desirable properties, we give dimension free and nearly optimal $L^p$-estimates for the gradient of the solutions to the divergence type elliptic PDEs with measurable coefficients. However, the core of the paper deals with quasiharmonic fields of unbounded distortion, which have far reaching applications to the non-uniformly elliptic PDEs. As far as we are aware this is the first time non-isotropic PDEs have been successfully treated. The right spaces for such equations are the Orlicz–Zygmund classes $L^2{\log }^{\alpha }L$. Examples we give here indicate that one cannot go far beyond these classes.

Résumé

A chaque solution d’une équation elliptique correspond un champ quasiharmonique $\mathcal{F}=[B,E]$, un couple de champs de vecteurs qui vérifient $\mathrm{div}B=0$ et $\mathrm{curl}E=0$ et qui sont couplés par une inégalité de distorsion. Les champs harmoniques capturent l’esprit analytique des applications quasiconformes dans le plan complexe. Dans cet article sont fournies des estimations $L^p$ concernant le gradient de solutions faibles d’une équation elliptique aux dérivées partielles, indépendantes de la dimension et presque optimales. Sont aussi considérés des champs quasiharmoniques avec distorsion non bornée, hypothèse non sans conséquences sur les équations non uniformément elliptiques. A notre connaissance c’est la première fois que sont obtenus des résultats significatifs pour des équations non-isotropiques. Les bons espaces pour de telles équations sont les espaces $L^2{\log }^{\alpha }L$. Des exemples montrent qu’il est difficile de s’éloigner de cette classe.