Extremal functions for the anisotropic Sobolev inequalities

Abstract

The existence of multiple nonnegative solutions to the anisotropic critical problem

is proved in suitable anisotropic Sobolev spaces. The solutions correspond to extremal functions of a certain best Sobolev constant. The main tool in our study is an adaptation of the well-known concentration-compactness lemma of P.-L. Lions to anisotropic operators. Furthermore, we show that the set of nontrival solutions $\mathcal{S}$ is included in $L^{\infty }({\mathbb{R}}^N)$ and is located outside of a ball of radius $\tau >0$ in $L^{p^{\ast }}({\mathbb{R}}^N)$.

Résumé

Nous montrons l'existence d'une infinité de solutions positives pour le problème anisotropique avec exposant critique. La méthode consiste à regarder la meilleure constante d'une inégalité du type Poincaré–Sobolev et à adapter le fameux principe de concentration-compacité de P. L. Lions. De plus, on montre que l'ensemble des solutions $\mathcal{S}$ est contenu dans $L^{\infty }({\mathbb{R}}^N)$ et est localisé en dehors d'une boule de rayon $\tau >0$ dans $L^{p^{\ast }}({\mathbb{R}}^N)$.