Extremal functions for the anisotropic Sobolev inequalities

  • A. El Hamidi

    Laboratoire de Mathématiques, Université de La Rochelle, Av. Michel Crépeau, 17042 La Rochelle cedex 09, France
  • J.M. Rakotoson

    Laboratoire de Mathématiques, U.M.R. 6086, Université de Poitiers, SP2MI, Boulevard Marie et Pierre Curie, Téléport 2, BP 30179, 86962 Futuroscope Chasseneuil cedex, France

Abstract

The existence of multiple nonnegative solutions to the anisotropic critical problem

is proved in suitable anisotropic Sobolev spaces. The solutions correspond to extremal functions of a certain best Sobolev constant. The main tool in our study is an adaptation of the well-known concentration-compactness lemma of P.-L. Lions to anisotropic operators. Furthermore, we show that the set of nontrival solutions is included in and is located outside of a ball of radius in .

Résumé

Nous montrons l'existence d'une infinité de solutions positives pour le problème anisotropique avec exposant critique. La méthode consiste à regarder la meilleure constante d'une inégalité du type Poincaré–Sobolev et à adapter le fameux principe de concentration-compacité de P. L. Lions. De plus, on montre que l'ensemble des solutions est contenu dans et est localisé en dehors d'une boule de rayon dans .

Cite this article

A. El Hamidi, J.M. Rakotoson, Extremal functions for the anisotropic Sobolev inequalities. Ann. Inst. H. Poincaré Anal. Non Linéaire 24 (2007), no. 5, pp. 741–756

DOI 10.1016/J.ANIHPC.2006.06.003