Ljusternik–Schnirelmann theory on $C^1$-manifolds

Abstract

Let $\mathrm{M}$ be a complete Finsler manifold of class ${\mathrm{C}}^1$. It is shown that if $\mathrm{M}$ contains a compact subset of category $k$ (in $\mathrm{M}$), then each function $f\in {\mathrm{C}}^1\left(\mathrm{M},R\right)$ which is bounded below and satisfies the Palais–Smale condition must necessarily have $k$ critical points. This should be compared with the known result that $f$ has at least $\mathrm{cat}(\mathrm{M})$ critical points provided $\mathrm{M}$ is of class ${\mathrm{C}}^2$. An application is given to an eigenvalue problem for a quasilinear differential equation involving the $p$-Laplacian $-\mathrm{div}(|\nabla u{|}^{p-2}\nabla u)$, $1<p<\infty$.

Résumé

Soit $\mathrm{M}$ une variété de Finsler complète de classe ${\mathrm{C}}^1$. On démontre que si $\mathrm{M}$ contient un sous-ensemble compacte de catégorie $k$ (dans $\mathrm{M}$), alors toute fonction $f\in {\mathrm{C}}^1(\mathrm{M},R)$ qui est bornée inférieurement et satisfait à la condition de Palais–Smale doit nécessairement avoir $k$ point critique. Ce résultat est à rapprocher du théorème connu selon lequel $f$ a au moins $\mathrm{cat}(\mathrm{M})$ point critique lorsque $\mathrm{M}$ est de classe ${\mathrm{C}}^2$. On donne une application à un problème de valeur propre pour une équation différentielle quasi-linéaire faisant intervenir le $p$-Laplacien $-\mathrm{div}(|\nabla u{|}^{p-2}\nabla u)$, $1<p<\infty$.