Abstract

Let M be a complete Finsler manifold of class C1. It is shown that if M contains a compact subset of category k (in M), then each function $f\in {\mathrm{C}}^1\left(\mathrm{M},R\right)$ which is bounded below and satisfies the Palais-Smale condition must necessarily have k critical points. This should be compared with the known result that f has at least cat(M) critical points provided M is of class C2. An application is given to an eigenvalue problem for a quasilinear differential equation involving the p-Laplacian −div(|∇u|p−2∇u), 1 < p < ∞.

Résumé

Soit M une variété de Finsler complète de classe C1. On démontre que si M contient un sous-ensemble compacte de catégorie k (dans M), alors toute fonction $f\in {\mathrm{C}}^1(\mathrm{M},R)$ qui est bornée inférieurement et satisfait à la condition de Palais-Smale doit nécessairement avoir k point critique. Ce résultat est à rapprocher du théorème connu selon lequel f a au moins cat(M) point critique lorsque M est de classe C2. On donne une application à un problème de valeur propre pour une équation différentielle quasi-linéaire faisant intervenir le p-Laplacien −div(|∇u|p−2∇u), 1 < p < ∞.