On the singular limit in a phase field model of phase transitions

Abstract

The limits of families of stable solutions for the equation ${\epsilon }^2\Delta u_{\epsilon }-f(u_{\epsilon })+T(|x|)=0$ over radially symmetric domains with no-flux boundary conditions are discribed. Particular emphasis is placed on the characterization of points of discontinuity of these limits (interfaces) and on the description of the graph of $u_{\epsilon }$ for small $\epsilon$. Sufficient conditions for existence of interfaces in terms of the temperature function, $T$, are given. The analysis is more complete for families of global minimizers of the associated energy functional.

Résumé

On étudie les limites de familles de solutions stables de l’équation ${\epsilon }^2\Delta u_{\epsilon }-f(u_{\epsilon })+T(|x|)-0$ sur des domaines à symétrie radiale sans flux au bord. On s’attache particulièrement à caractériser les points de discontinuité de ces limites (interfaces) et à décrire le graphe de $u_{\epsilon }$ pour petit $\epsilon$. On donne des conditions suffisantes sur la température T pour qu’il existe des interfaces. On analyse de manière plus approfondie les familles minimisant l’énergie totale.