Dédoublement de courbes invariantes sur le cylindre : petits diviseurs

Abstract

We study an invariant curve doubling bifurcation on the cylinder, obtained from a Hopf and a period doubling bifurcation interaction of a generic two parameter family of diffeomorphisms of ${\mathbf{R}}^3$, by restriction to it’s central manifold supposed to be $C^{\infty }$. We generalized to this case some results of Chenciner on degenerate Hopf bifurcation. We find in particular, an analogous local structure of the parameter space : except for an infinity of very thin bubbles, the dynamics looks like a normal form.

Résumé

On s’intéresse à une bifurcation de dédoublement de courbes invariantes sur le cylindre, qui provient de l’interaction des bifurcations de Hopf et de dédoublement, pour une famille générique à deux paramètres de difféomorphismes de ${\mathbf{R}}^3$, restreinte à sa variété centrale supposée $C^{\infty }$. On généralise à ce cas des résultats d’A. Chenciner sur la bifurcation de Hopf dégénérée. En particulier, on retrouve une structure locale analogue de l’espace des paramètres : à l’extérieur d’une infinité de bulles disjointes très fine, la dynamique ressemble (dans un sens précisé dans le texte) à une forme normale.