Concentration of solutions to elliptic equations with critical nonlinearity

Abstract

We study the asymptotic behavior as $\epsilon$ goes to zero of solutions in ${\mathrm{H}}_0^1\left(\mathrm{\Omega }\right)$ to the equation: $-\Delta u={\left|u\right|}^{4/\left(\mathrm{N}-2\right)}u+\epsilon f\left(x\right)$, where $\Omega$ is a bounded domain in ${\mathbf{R}}^N$. We show the existence of solutions to the problem which blow-up at some well-defined points, depending on $f$, for $\epsilon =0$.

Résumé

Nous étudions le comportement asymptotique quand ε tend vers zèro de solutions dans ${\mathrm{H}}_0^1\left(\mathrm{\Omega }\right)$ de l'équation :

où $\Omega$ est un ouvert borné de ${\mathbf{R}}^N$. Nous montrons l’existence de solutions du problème qui explosent en des points caractérisés précisément en fonction de $f$, pour $\epsilon =0$.