Random modulation of solitons for the stochastic Korteweg–de Vries equation

Abstract

We study the asymptotic behavior of the solution of a Korteweg–de Vries equation with an additive noise whose amplitude $\varepsilon$ tends to zero. The noise is white in time and correlated in space and the initial state of the solution is a soliton solution of the unperturbed Korteweg–de Vries equation. We prove that up to times of the order of $1/{\varepsilon }^2$, the solution decomposes into the sum of a randomly modulated soliton, and a small remainder, and we derive the equations for the modulation parameters. We prove in addition that the first order part of the remainder converges, as $\varepsilon$ tends to zero, to a Gaussian process, which satisfies an additively perturbed linear equation.

Résumé

Nous étudions le comportement asymptotique de la solution d'une équation de Korteweg–de Vries avec un bruit additif dont l'amplitude $\varepsilon$ tend vers $0$. Le bruit est blanc en temps et spatialement corrélé, la donnée initiale est un soliton de l'équation non perturbée. Nous montrons que pour des temps inférieurs à $1/{\varepsilon }^2$, la solution se décompose en une onde solitaire aléatoirement modulée et un reste petit. Nous obtenons les équations des paramètres de modulation. Nous montrons également la convergence du terme d'ordre un dans le reste vers un processus gaussien centré vérifiant une équation linéaire bruitée.