Nearly time optimal stabilizing patchy feedbacks

Abstract

We consider the time optimal stabilization problem for a nonlinear control system $\dot{x}=f(x,u)$. Let $T(y)$ be the minimum time needed to steer the system from the state $y∊{\mathbb{R}}^n$ to the origin, and call $\mathcal{A}(\tau )$ the set of initial states that can be steered to the origin in time $T(y)⩽\tau$. Given any $\varepsilon >0$, in this paper we construct a patchy feedback $u=U(x)$ such that every solution of $\dot{x}=f(x,U(x))$, $x(0)=y\in \mathcal{A}(\tau )$ reaches an $\varepsilon$-neighborhood of the origin within time $T(y)+\varepsilon$.

Résumé

On considère un problème de stabilization en temps optimal pour un système de commandé non-linéaire du type $\dot{x}=f(x,u)$. Notons par $T(y)$ le temps minimal nécessaire pour aller de $y∊{\mathbb{R}}^n$ à l'origine, et par $\mathcal{A}(\tau )$ l'ensemble des $y\in {\mathbb{R}}^n$ tels que $T(y)⩽\tau$. Pour chaque $\varepsilon >0$, on construit un feedback $u=U(x)$ de type patchy tel que toutes les solutions de $\dot{x}=f(x,U(x))$, $x(0)=y\in \mathcal{A}(\tau )$ atteignent un $\varepsilon$-voisinage de l'origine en temps au plus $T(y)+\varepsilon$.