Sign changing bubble tower solutions in a slightly subcritical semilinear Dirichlet problem

Abstract

We consider the problem $-\mathrm{\Delta }u=|u{|}^{p-1-\varepsilon }u$ in $\Omega$, $u=0$ on $\partial \Omega$, where $\Omega$ is a bounded smooth domain in ${\mathbb{R}}^N$ symmetric with respect to $x_1,\dots ,x_N$, which contains the origin, $N⩾3$, $p=\frac{N+2}{N-2}$ and $\varepsilon$ is a positive parameter. As $\varepsilon$ goes to zero, we construct sign changing solutions with multiple blow up at the origin. These solutions have, as $\varepsilon$ goes to zero, more and more annular-shaped nodal domains.

Résumé

Nous considérons le problème $-\mathrm{\Delta }u=|u{|}^{p-1-\varepsilon }u$ dans $\Omega$, $u=0$ sur $\partial \Omega$, où $\Omega$ est un domaine borné de ${\mathbb{R}}^N$ symétrique par rapport à $x_1,\dots ,x_N$ qui contient l'origine, $N⩾3$, $p=\frac{N+2}{N-2}$ et $\varepsilon$ est un paramètre positif. Quand $\varepsilon \to 0$, nous construisons des solutions changeant de signe qui ressemblent à une superposition de transitoires centrées dans l'origine. Ces solutions admettent, quand $\varepsilon \to 0$, de plus en plus de domaines nodeaux ressemblant à un anneau.