The Monge–Ampère constraint: Matching of isometries, density and regularity, and elastic theories of shallow shells

Abstract

The main analytical ingredients of the first part of this paper are two independent results: a theorem on approximation of $W^{2,2}$ solutions of the Monge–Ampère equation by smooth solutions, and a theorem on the matching (in other words, continuation) of second order isometries to exact isometric embeddings of 2d surface in ${\mathbb{R}}^3$.

In the second part, we rigorously derive the Γ-limit of 3-dimensional nonlinear elastic energy of a shallow shell of thickness $h$, where the depth of the shell scales like $h^{\alpha }$ and the applied forces scale like $h^{\alpha +2}$, in the limit when $h\to 0$. We offer a full analysis of the problem in the parameter range $\alpha \in (1/2,1)$. We also complete the analysis in some specific cases for the full range $\alpha \in (0,1)$, applying the results of the first part of the paper.

Résumé

On démontre d'abord deux résultats indépendants, l'un sur la densité des fonctions régulières dans l'ensemble des solutions de l'équation de Monge–Ampère, l'autre sur la construction d'isométries exactes par continuation à partir d'isométries infinitésimales d'ordre 2, pour des surfaces bidimensionelles.

On dérive ensuite un modèle nouveau pour les coques minces peu profondes d'épaisseur $h$ et profondeur de l'ordre de $h^{\alpha }$ départant de la théorie trois-dimensionnelle de l'élasticité nonlinéaire. Le modèle limite obtenu par la Gamma-convergence consiste à minimiser une énergie biharmonique sous une contrainte de type Monge–Ampère. Ce résultat s'applique au cas où les forces sont de l'order de $h^{\alpha +2}$ et $1/2<\alpha <1$. On peut l'étendre pour $\alpha \in (0,1)$ dans certains cas spécifics, utilisant les résultats de la première partie de l'article.