Asymptotic behaviour and correctors for linear Dirichlet problems with simultaneously varying operators and domains

Abstract

We consider a sequence of Dirichlet problems in varying domains (or, more generally, of relaxed Dirichlet problems involving measures in ${\mathcal{M}}_0^{+}(\Omega )$) for second order linear elliptic operators in divergence form with varying matrices of coefficients. When the matrices $H$-converge to a matrix $A^0$, we prove that there exist a subsequence and a measure ${\mu }^0$ in ${\mathcal{M}}_0^{+}(\Omega )$ such that the limit problem is the relaxed Dirichlet problem corresponding to $A^0$ and ${\mu }^0$. We also prove a corrector result which provides an explicit approximation of the solutions in the $H^1$-norm, and which is obtained by multiplying the corrector for the $H$-converging matrices by some special test function which depends both on the varying matrices and on the varying domains.

Résumé

Nous considérons une suite de problèmes de Dirichlet dans des ouverts variables (ou plus généralement une suite de problèmes de Dirichlet relaxés définis par des mesures de ${\mathcal{M}}_0^{+}(\Omega )$ pour des opérateurs elliptiques linéaires du deuxième ordre sous forme divergence avec des matrices de coefficients elles aussi variables. Quand les matrices $H$-convergent vers une matrice $A^0$, nous démontrons qu’il existe une sous suite et une mesure ${\mu }^0$ de ${\mathcal{M}}_0^{+}(\Omega )$ telles qu’à la limite on obtienne le problème de Dirichlet relaxé correspondant à $A^0$ et ${\mu }^0$. Nous démontrons également un résultat de correcteur qui donne une approximation explicite des solutions en norme $H^1$ ; ce correcteur est obtenu en multipliant le correcteur pour la $H$-convergence des matrices par une fonction test spéciale qui dépend à la fois des matrices variables et des ouverts variables.