JournalsaihpcVol. 21, No. 4pp. 517–531

Inverse problem for a nonlinear Helmholtz equation

  • Emmanuel Jalade

    Université de Provence C.M.I., U.M.R. 6632, 39, rue Joliot-Curie, 13453 Marseille cedex 13, France
Inverse problem for a nonlinear Helmholtz equation cover
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Abstract

This paper is devoted to the uniqueness of the coefficients θ,φ∈L∞(ℝ3), and ψ∈L∞(ℝ3,ℝ3) for the nonlinear Helmholtz equations −Δv(x)−k2v(x)=θ(x)v(x)F(|v(x)|) and −Δv(x)−k2v(x)=(φ(x)v(x)+(x).∇v(x))|∇v(x)|r|v(x)|s. For small values of λ, a solution v is uniquely constructed by adding a small outgoing perturbation to the plane wave xλeikx.d, where |d|=1 and λ⩾0. We can write v=v(x,λ,d)=λeikx.d+us∞(x/|x|,d,λ)eik|x|/|x|+O(1/|x|2) for large |x|. For a fixed k>0, we would like to prove that θ, φ and divψ can be uniquely reconstructed from the behaviour of us∞(x/|x|,d,λ) as λ→0. We prove the uniqueness in this paper.

Résumé

L’objet de ce papier est d’étudier l’unicité des coefficients θ,φ∈L∞(ℝ3), et ψ∈L∞(ℝ3,ℝ3) pour les Équations de Helmholtz non linéaires −Δv(x)−k2v(x)=θ(x)v(x)F(|v(x)|) et −Δv(x)−k2v(x)=(φ(x)v(x)+(x).∇v(x))|∇v(x)|r|v(x)|s. Quand λ est assez petit, on construit de manière unique une solution v en ajoutant à l’onde incidente plane xλeikx.d (|d|=1, λ⩾0) une perturbation k-sortante. On peut ainsi écrire v=v(x,λ,d)=λeikx.d+us∞(x/|x|,d,λ)eik|x|/|x|+O(1/|x|2) quand |x|→+∞. Considérons que k>0 est fixé. Le problème abordé dans ce papier est de montrer que θ, φ et divψ peuvent être construits de manière unique à partir du comportement asymptotique de us∞(x/|x|,d,λ) quand λ→0. Nous démontrons l’unicité pour ce problème inverse, et développerons quelques aspects concernant la reconstruction.

Cite this article

Emmanuel Jalade, Inverse problem for a nonlinear Helmholtz equation. Ann. Inst. H. Poincaré Anal. Non Linéaire 21 (2004), no. 4, pp. 517–531

DOI 10.1016/J.ANIHPC.2003.07.001