Inverse problem for a nonlinear Helmholtz equation

Abstract

This paper is devoted to the uniqueness of the coefficients $\theta ,\phi \in L^{\infty }(R^3)$, and $\psi \in L^{\infty }(R^3,R^3)$ for the nonlinear Helmholtz equations

For small values of $\lambda$, a solution $v$ is uniquely constructed by adding a small outgoing perturbation to the plane wave $x\to \lambda e^{ikx.d}$, where $|d|=1$ and $\lambda ⩾0$. We can write $v=v(x,\lambda ,d)=\lambda e^{ikx.d}+u_{\infty }^s(x/|x|,d,\lambda )e^{ik|x|}/|x|+O(1/|x{|}^2)$ for large $|x|$. For a fixed $k>0$, we would like to prove that $\theta ,\phi$ and $\mathrm{div}\psi$ can be uniquely reconstructed from the behaviour of $u_{\infty }^s(x/|x|,d,\lambda )$ as $\lambda \to 0$. We prove the uniqueness in this paper.

Résumé

L’objet de ce papier est d’étudier l’unicité des coefficients $\theta ,\phi \in L^{\infty }(R^3)$, et $\psi \in L^{\infty }(R^3,R^3)$ pour les Équations de Helmholtz non linéaires

Quand $\lambda$ est assez petit, on construit de manière unique une solution $v$ en ajoutant à l’onde incidente plane $x\to \lambda e^{ikx.d}$ ($|d|=1$, $\lambda ⩾0$) une perturbation $k$-sortante. On peut ainsi écrire $v=v(x,\lambda ,d)=\lambda e^{ikx.d}+u_{\infty }^s(x/|x|,d,\lambda )e^{ik|x|}/|x|+O(1/|x{|}^2)$ quand $|x|\to +\infty$. Considérons que $k>0$ est fixé. Le problème abordé dans ce papier est de montrer que $\theta ,\phi$ et $\mathrm{div}\psi$ peuvent être construits de manière unique à partir du comportement asymptotique de $u_{\infty }^s(x/|x|,d,\lambda )$ quand $\lambda \to 0$. Nous démontrons l’unicité pour ce problème inverse, et développerons quelques aspects concernant la reconstruction.