Planar binary trees and perturbative calculus of observables in classical field theory

Abstract

We study the Klein–Gordon equation coupled with an interaction term $(\square +m^2)\varphi +\lambda {\varphi }^p=0$. In the linear case ($\lambda =0$) a kind of generalized Noether's theorem gives us a conserved quantity. The purpose of this paper is to find an analogue of this conserved quantity in the interacting case. We will see that we can do this perturbatively, and we define explicitly a conserved quantity, using a perturbative expansion based on Planar Trees and a kind of Feynman rule. Only the case $p=2$ is treated but our approach can be generalized to any ${\varphi }^p$-theory.

Résumé

Nous étudions l'équation de Klein–Gordon couplée avec un terme d'interaction $(\square +m^2)\varphi +\lambda {\varphi }^p=0$. Dans le cas où l'équation est linéaire ($\lambda =0$), une généralisation du théorème de Noether nous donne une quantité conservée. Le but de cet article est de trouver un analogue de cette quantité dans le cas non-linéaire ($\lambda \ne 0$). Nous verrons que pour $\lambda$ petit, on peut définir explicitement une quantité conservée en utilisant un développement perturbatif basé sur les Arbres Plans et des règles de Feynman particulières. Seul le cas $p=2$ est traité mais notre approche peut être appliquée pour tout $p\ge 2$.