On quasiconvex hulls in symmetric $2\times 2$ matrices

Abstract

In this paper we study the quasiconvex hull of compact sets of symmetric $2\times 2$ matrices. We are interested in situations where the quasiconvex hull can be separated into smaller independent pieces. Our main result is a geometric criterion which is sufficient for the quasiconvex hull of the union of two compact sets $K_1\cup K_2$ to separate in the sense that $(K_1\cup K_2{)}^{\mathrm{qc}}=K_1^{\mathrm{qc}}\cup K_2^{\mathrm{qc}}$. The key point in the proof is a kind of directional maximum principle for second order elliptic equations in the plane in non-divergence form with measurable coefficients.

Résumé

On étudie les enveloppes quasiconvexes des ensembles compacts de matrices symétriques $2\times 2$. On s'intéresse aux situations où l'enveloppe quasiconvexe se laisse séparer dans des morceaux indépendants plus petits. Le résultat principal est un critère géométrique suffisant pour l'enveloppe quasiconvexe d'une union de deux ensembles compacts $K_1\cup K_2$ pour se séparer comme $(K_1\cup K_2{)}^{\mathrm{qc}}=K_1^{\mathrm{qc}}\cup K_2^{\mathrm{qc}}$. Le point essentiel dans la preuve est un principe du maximum directionnel pour les équations elliptiques de deuxième ordre dans le plan sous la forme non-divergence avec des coefficients mesurables.