Large time behavior for nonlinear higher order convection–diffusion equations

Abstract

We study the large time asymptotic behavior, in $L^p$ ( $1\le p\le \infty$), of higher derivatives $D^{\gamma }u(t)$ of solutions of the nonlinear equation

where the integers n and θ are bigger than or equal to 1, a is a constant vector in ${\mathbb{R}}^p$ with $p=\left(\begin{array}{c}\theta +n-1\\ n-1\end{array}\right)=\frac{(\theta +n-1)!}{\theta !(n-1)!}$. The function ψ is a nonlinearity such that $\psi ∊{\mathcal{C}}^{\theta }(\mathbb{R})$ and $\psi (0)=0$, and $\mathcal{T}$ is a higher order elliptic operator with nonsmooth bounded measurable coefficients on ${\mathbb{R}}^n$. We also establish faster decay when $u_0∊L^1({\mathbb{R}}^n)\cap L^{\infty }({\mathbb{R}}^n)$.

Résumé

Nous étudions le comportement asymptotique, dans $L^p$ ( $1\le p\le \infty$), des dérivées d'ordre supérieur $D^{\gamma }u(t)$ des solutions de l'équation nonlinéaire (1), où $n∊{\mathbb{N}}^{\ast }$, $\theta ∊{\mathbb{N}}^{\ast }$ et a est un vecteur constant de ${\mathbb{R}}^p$ avec $p=\left(\begin{array}{c}\theta +n-1\\ n-1\end{array}\right)$. La fonction ψ est nonlinéaire vérifiant $\psi ∊{\mathcal{C}}^{\theta }(\mathbb{R})$ et $\psi (0)=0$, et $\mathcal{T}$ est un opérateur elliptique d'ordre supérieur à coefficients peu réguliers dans ${\mathbb{R}}^n$. Nous étudions également le cas particulier où $u_0∊L^1({\mathbb{R}}^n)\cap L^{\infty }({\mathbb{R}}^n)$.