Large time behavior for nonlinear higher order convection–diffusion equations

Abstract

We study the large time asymptotic behavior, in $L^p$ ($1\le p\le \infty$), of higher derivatives $D^{\gamma }u(t)$ of solutions of the nonlinear equation

where the integers $n$ and $\theta$ are bigger than or equal to $1$, $a$ is a constant vector in ${\mathbb{R}}^p$ with $p=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{\theta +n-1}{n-1}\right)=\frac{(\theta +n-1)!}{\theta !(n-1)!}$. The function $\psi$ is a nonlinearity such that $\psi \in {\mathcal{C}}^{\theta }(\mathbb{R})$ and $\psi (0)=0$, and $\mathcal{T}$ is a higher order elliptic operator with nonsmooth bounded measurable coefficients on ${\mathbb{R}}^n$. We also establish faster decay when $u_0\in L^1({\mathbb{R}}^n)\cap L^{\infty }({\mathbb{R}}^n)$.

Résumé

Nous étudions le comportement asymptotique, dans $L^p$ ($1\le p\le \infty$), des dérivées d'ordre supérieur $D^{\gamma }u(t)$ des solutions de l'équation nonlinéaire (1), où $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, $\theta \in {\mathbb{N}}^{\ast }$ et $a$ est un vecteur constant de ${\mathbb{R}}^p$ avec $p=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{\theta +n-1}{n-1}\right)$. La fonction $\psi$ est nonlinéaire vérifiant $\psi \in {\mathcal{C}}^{\theta }(\mathbb{R})$ et $\psi (0)=0$, et $\mathcal{T}$ est un opérateur elliptique d'ordre supérieur à coefficients peu réguliers dans ${\mathbb{R}}^n$. Nous étudions également le cas particulier où $u_0∊L^1({\mathbb{R}}^n)\cap L^{\infty }({\mathbb{R}}^n)$.