An optimal symbolic calculus on Besov algebras

Abstract

In this paper we consider Besov algebras on $\mathbb{R}$, that is Besov spaces $B_{p,q}^s(\mathbb{R})$ for $s>1/p$. For $s>1+(1/p)$, $p>4/3$, and $q\ge p$, we prove that the above algebras have a maximal symbolic calculus in the following sense: for any function $f$ belonging locally to $B_{p,q}^s(\mathbb{R})$ and such that $f(0)=0$, the associated superposition operator $T_f(g):=f\circ g$ takes $B_{p,q}^s(\mathbb{R})$ to itself.

Résumé

On considère les algèbres de Besov sur la droite réelle, autrement dit les espaces de Besov $B_{p,q}^s(\mathbb{R})$ pour $s>1/p$. Sous les hypothèses $s>1+(1/p)$, $p>4/3$ et $q\ge p$, on établit que ces algèbres possèdent un calcul symbolique maximal au sens suivant : pour toute fonction $f$ appartenant localement à $B_{p,q}^s(\mathbb{R})$ et telle que $f(0)=0$, on a $f\circ g\in B_{p,q}^s(\mathbb{R})$ pour tout $g\in B_{p,q}^s(\mathbb{R})$.