JournalsaihpcVol. 2, No. 2pp. 119–141

The Dirichlet problem for harmonic maps from the disk into the euclidean n-sphere

  • V. Benci

  • J.M. Coron

The Dirichlet problem for harmonic maps from the disk into the euclidean n-sphere cover
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Abstract

Let Ω = \{(x,\:y) \in ℝ^{2}|x^{2} + y^{2} < 1,\right.\right.$$\mathrm{S}^{n} = \{v \in ℝ^{n + 1}|\:|v| = 1\right.\right. (n ⩾ 2), and let γ ∈ C2,δ(∂Ω; Sn). We study the following problem

\left\{\begin{matrix} u \in \mathrm{C}^{2}(Ω;\mathrm{S}^{n})\: \cap \mathrm{C}^{0}(Ω\limits^{¯};\mathrm{S}^{n}) \\ −Δu = u|\nabla u|\right.^{2}\right. \\ u = \gamma \:\:on\:\:∂Ω. \\ \end{matrix}\right.

Problem (*) is the « Dirichlet » problem for a harmonic function u which takes its values in Sn. We prove that, if γ is not constant, then (*) has at least two distinct solutions.

Résumé

Soit γ une application du bord d’un disque de ℝ2 à valeurs dans une sphère euclidienne de dimension n. On montre que, si γ n’est pas une application constante, il existe au moins deux applications harmoniques du disque dans la sphère égales à γ sur le bord du disque.

Cite this article

V. Benci, J.M. Coron, The Dirichlet problem for harmonic maps from the disk into the euclidean n-sphere. Ann. Inst. H. Poincaré Anal. Non Linéaire 2 (1985), no. 2, pp. 119–141

DOI 10.1016/S0294-1449(16)30406-1