The Dirichlet problem for harmonic maps from the disk into the euclidean n-sphere

  • V. Benci

  • J.M. Coron

Abstract

Let

Ω={(x,y)R2x2+y2<1},Sn={vRn+1v=1}(n2),Ω = \{(x,\:y) \in ℝ^{2}|x^{2} + y^{2} < 1\}, \quad \mathrm{S}^{n} = \{v \in ℝ^{n + 1}|\:|v| = 1\} \quad (n ⩾ 2),

and let γC2,δ(Ω;Sn)γ ∈ C^{2,δ}(∂Ω; \mathrm{S}^{n}). We study the following problem

(){uC2(Ω;Sn)C0(Ω;Sn)Δu=uu2u=γonΩ.(^*) \qquad \qquad \begin{cases} u \in \mathrm{C}^{2}(Ω;\mathrm{S}^{n})\: \cap \mathrm{C}^{0}(\overline{Ω};\mathrm{S}^{n})\\ −Δu = u|\left.\nabla u|\right.^{2}\\ u = \gamma \:\:\text{on}\:\:∂Ω. \end{cases}

Problem (*) is the « Dirichlet » problem for a harmonic function u which takes its values in Sn. We prove that, if γ is not constant, then (*) has at least two distinct solutions.

Résumé

Soit γ une application du bord d’un disque de R2ℝ^{2} à valeurs dans une sphère euclidienne de dimension n. On montre que, si γ n’est pas une application constante, il existe au moins deux applications harmoniques du disque dans la sphère égales à γ sur le bord du disque.

Cite this article

V. Benci, J.M. Coron, The Dirichlet problem for harmonic maps from the disk into the euclidean n-sphere. Ann. Inst. H. Poincaré Anal. Non Linéaire 2 (1985), no. 2, pp. 119–141

DOI 10.1016/S0294-1449(16)30406-1