The Dirichlet problem for harmonic maps from the disk into the euclidean n-sphere

Abstract

Let

and let $\gamma \in C^{2,\delta }(\partial \Omega ;{\mathrm{S}}^n)$. We study the following problem

Problem ($\ast$) is the « Dirichlet » problem for a harmonic function $u$ which takes its values in $S^n$. We prove that, if $\gamma$ is not constant, then ($\ast$) has at least two distinct solutions.

Résumé

Soit $\gamma$ une application du bord d’un disque de $R^2$ à valeurs dans une sphère euclidienne de dimension $n$. On montre que, si $\gamma$ n’est pas une application constante, il existe au moins deux applications harmoniques du disque dans la sphère égales à $\gamma$ sur le bord du disque.