Abstract

Let

$Ω = \{(x,\:y) \in ℝ^{2}|x^{2} + y^{2} < 1\}, \quad \mathrm{S}^{n} = \{v \in ℝ^{n + 1}|\:|v| = 1\} \quad (n ⩾ 2),$

and let $γ ∈ C^{2,δ}(∂Ω; \mathrm{S}^{n})$. We study the following problem

Problem (*) is the « Dirichlet » problem for a harmonic function u which takes its values in Sn. We prove that, if γ is not constant, then (*) has at least two distinct solutions.

Résumé

Soit γ une application du bord d’un disque de $ℝ^{2}$ à valeurs dans une sphère euclidienne de dimension n. On montre que, si γ n’est pas une application constante, il existe au moins deux applications harmoniques du disque dans la sphère égales à γ sur le bord du disque.