Conservation laws for the nonlinear Schrödinger equation

Abstract

We propose a method of calculating the operator densities ${\hat{h}}_{n}n=0,1,\dots$ of the conservation laws for the quantum nonlinear Schrödinger equation. It follows from the method that ${\hat{h}}_n$ are polynomials in fields and their derivatives and in the coupling constant. The densities ${\hat{h}}_{n}n\le 4$ are explicitly calculated. Comparison with the integral densities $b_n=0,1,\dots$ for the classical nonlinear Schrödinger equation shows that the correspondence between ${\hat{h}}_n$ and $b_n$ breaks down after $n=3$.

Résumé

On propose une méthode pour calculer les densités opératoires ${\hat{h}}_{n}n=0,1,\dots$ pour les intégrales de l’équation de Schrödinger non linéaire quantique. Il s’ensuit que les ${\hat{h}}_n$ sont des fonctions polynomiales des champs, de leurs dérivées et de la constante de couplage. Les densités ${\hat{h}}_{n}n\le 4$, sont calculées explicitement. En les comparant avec les densités intégrales $b_n=0,1,\dots$ pour l’équation de Schrödinger non linéaire classique, on voit que la correspondance entre $b_n$ et ${\hat{h}}_n$ n’est plus valable pour $n>3$.