Pointwise curvature estimates for F-stable hypersurfaces

Abstract

We consider immersed hypersurfaces in euclidean ${\mathbb{R}}^{n+1}$ which are stable with respect to an elliptic parametric functional of the form $\mathcal{F}(X)={\int }_{M}F(N)\mathrm{d}\mu$. We prove a pointwise curvature estimate provided that $n⩽5$ and $F$ is sufficiently close to the area integrand. This extends the pointwise curvature estimates of Schoen, Simon and Yau [Acta Math. 134 (1975) 275] for stable minimal hypersurfaces in ${\mathbb{R}}^{n+1}$ and of Simon [Math. Z. 154 (1977) 265] for minimizers of $\mathcal{F}$. Our result follows from an integral curvature estimate and a generalized Simons inequality that were established recently [Calc. Var. Partial Differential Equations (2004), DOI: 10.1007/S00526-004-0306-5], together with a Moser type iteration argument.

Résumé

Nous considérons des hypersurfaces dans l'espace euclidien ${\mathbb{R}}^{n+1}$ qui sont stables par rapport à une fonctionnelle paramétrique elliptique de la forme $\mathcal{F}(X)={\int }_{M}F(N)\mathrm{d}\mu$. Nous démontrons une estimation ponctuelle de la courbure sous l'hypothèse $n⩽5$ et $F$ est suffisamment proche de l'intégrande aire. Ce résultat étend l'estimation ponctuelle de la courbure obtenue par Schoen, Simon et Yau [Acta Math. 134 (1975) 275] pour les hypersurfaces minimales stables de ${\mathbb{R}}^{n+1}$ et par Simon [Math. Z. 154 (1977) 265] pour les minimiseurs de $F$. Une estimation intégrale de la courbure, une inégalité de Simons généralisée, établie récemment dans [Calc. Var. Partial Differential Equations (2004), DOI : 10.1007/S00526-004-0306-5], ainsi qu'un argument itératif de type Moser nous permet d'obtenir cette estimation ponctuelle.