The multi-dimensional super-replication problem under gamma constraints

Abstract

The classical Black–Scholes hedging strategy of a European contingent claim may require rapid changes in the replicating portfolio. One approach to avoid this is to impose a priori bounds on the variations of the allowed trading strategies, called gamma constraints. Under such a restriction, it is in general no longer possible to replicate a European contingent claim, and super-replication is a commonly used alternative. This paper characterizes the infimum of the initial capitals that allow an investor to super-replicate the contingent claim by carefully choosing an investment strategy obeying a gamma constraint. This infimum is shown to be the unique viscosity solution of a nonstandard partial differential equation. Due to the lower gamma bound, the “intuitive” partial differential equation is not parabolic and the actual equation satisfied by the infimum is the parabolic majorant of this equation. The derivation of the viscosity property is based on new results on the small time behavior of double stochastic integrals.

Résumé

La stratégie de couverture classique d'une option européenne, dictée par le modèle de Black et Scholes, peut conduire à des rebalancements rapides du portefeuille répliquant. Afin d'éviter de telles situations indésirables, nous introduisons des contraintes spécifiques sur le portefeuille, appelées contraintes gamma. Il n'est alors pas possible en général de répliquer parfaitement l'option européene. Par conséquent, la surréplication est alors une alternative fréquemment utilisée. Dans ce papier, on caractérise l'infimum des capitaux initiaux qui permet à un investiseur de surrépliquer l'actif contingent en choisissant soigneusement une stratégie de portefeuile satisfaisant à une contrainte gamma. Nous montrons que cet infimum est l'unique solution de viscosité d'une équation aux dérivées partielles non standard. A cause de la borne inférieure sur la contrainte gamma, l'équation aux dérivées partielles « intuitive » n'est pas parabolique, et l'équation effectivemet satisfaite par l'infimum est le mojorant parabolique de l'équation « intuitive ». L'obtention de la propriété de viscosité s'appuie sur des résultats nouveaux portant sur des intégrales stochastiques doubles.