Asymptotic analysis, in a thin multidomain, of minimizing maps with values in $S^2$

Abstract

We consider a thin multidomain of ${\mathbb{R}}^3$ consisting of two vertical cylinders, one placed upon the other: the first one with given height and small cross section, the second one with small thickness and given cross section. The first part of this paper is devoted to analyze, in this thin multidomain, a “static Landau–Lifshitz equation”, when the volumes of the two cylinders vanish. We derive the limit problem, which decomposes into two uncoupled problems, well posed on the limit cylinders (with dimensions 1 and 2, respectively). We precise how the limit problem depends on limit of the ratio between the volumes of the two cylinders. In the second part of this paper, we study the asymptotic behavior of the two limit problems, when the exterior limit fields increase. We show that in some cases, contrary to the initial problem, the energies of the limit problems diverge and we find the order of these energies.

Résumé

Nous considérons un multi-domaine mince de ${\mathbb{R}}^3$ se composant de deux cylindres verticaux, superposés l'un sur l'autre : le premier possède une taille donnée et une petite section transversale, le second a une petite épaisseur et une section transversale donnée. La première partie de cet article est consacrée à analyser, dans ce multi-domaine, une équation stationnaire de type Landau–Lifshitz, quand les volumes des deux cylindres tendent vers 0. Nous montrons que le problème limite, se décompose en deux probèmes découplés, bien posés sur le domaine limite. Ensuite, nous précisons comment le problème limite dépend de la limite du rapport des volumes des deux cylindres. Dans la deuxième partie de cet article, nous étudions le comportement asymptotique des deux problèmes limites, quand les champs extérieurs limites augmentent. Nous prouvons que dans certains cas, contrairement au problème initial, les énergies des problèmes limites divergent et nous précisons l'ordre de ces énergies.