Exponential convergence for a periodically driven semilinear heat equation

Abstract

We consider a semilinear heat equation in one space dimension, with a periodic source at the origin. We study the solution, which describes the equilibrium of this system and we prove that, as the space variable tends to infinity, the solution becomes, exponentially fast, asymptotic to a steady state. The key to the proof of this result is a Harnack type inequality, which we obtain using probabilistic ideas.

Résumé

On considère une équation de chaleur semilinéaire dans l'espace unidimensionnel, avec une source périodique à l'origine. On étudie la solution qui décrit l'équilibre de ce système, et on montre que, si la variable spatiale tend vers l'infini, la solution devient asymptotiquement équivalente à une solution stationnaire à vitesse exponentielle. On utilise une inégalité de type Harnack, qu'on obtient par des méthodes probabilistiques.