Controllability of the discrete-spectrum Schrödinger equation driven by an external field

  • Thomas Chambrion

    Institut Élie Cartan, UMR 7502 Nancy-Université/CNRS/INRIA, BP 239, 54506 Vandœuvre-lès-Nancy, France
  • Paolo Mason

    Institut Élie Cartan, UMR 7502 Nancy-Université/CNRS/INRIA, BP 239, 54506 Vandœuvre-lès-Nancy, France; IAC, CNR, Viale Del Policlinico, 137 00161 Rome, Italy
  • Mario Sigalotti

    Institut Élie Cartan, UMR 7502 Nancy-Université/CNRS/INRIA, BP 239, 54506 Vandœuvre-lès-Nancy, France
  • Ugo Boscain

    Le2i, CNRS, Université de Bourgogne, BP 47870, 21078 Dijon Cedex, France

Abstract

We prove approximate controllability of the bilinear Schrödinger equation in the case in which the uncontrolled Hamiltonian has discrete non-resonant spectrum. The results that are obtained apply both to bounded or unbounded domains and to the case in which the control potential is bounded or unbounded. The method relies on finite-dimensional techniques applied to the Galerkin approximations and permits, in addition, to get some controllability properties for the density matrix. Two examples are presented: the harmonic oscillator and the 3D well of potential, both controlled by suitable potentials.

Résumé

Nous montrons la contrôlabilité approchée de l'équation de Schrödinger bilinéaire dans le cas où l'hamiltonien non contrôlé a un spectre discret et non-résonnant. Les résultats obtenus sont valables que le domaine soit borné ou non, et que le potentiel de contrôle soit borné ou non. La preuve repose sur des méthodes de dimension finie appliquées aux approximations de Galerkyn du système. Ces méthodes permettent en plus d'obtenir des résultats de contrôlabilité des matrices de densité. Deux exemples sont présentés, l'oscillateur harmonique et le puits de potentiel en dimension trois, munis de potentiels de contrôle adéquats.

Cite this article

Thomas Chambrion, Paolo Mason, Mario Sigalotti, Ugo Boscain, Controllability of the discrete-spectrum Schrödinger equation driven by an external field. Ann. Inst. H. Poincaré Anal. Non Linéaire 26 (2009), no. 1, pp. 329–349

DOI 10.1016/J.ANIHPC.2008.05.001