A nonexistence result for a nonlinear equation involving critical Sobolev exponent

Abstract

Given any constant $C>0$, we show that there exists smooth bounded nonstarshaped domains $\mathbf{U}$ in $R^N$ ($N\geqq 5$), such that the problem

has no solution $u$, whose energy, ${\int }_{\mathbf{U}}{\left|{\nabla }_u\right|}^2$ is less than $C$.

Résumé

Étant donnée une constante $С>0$ arbitraire, nous montrons qu’il existe des ouverts bornés réguliers non étoilés $\mathbf{U}$ de $R^N$ ($N\geqq 5$), tels que le problème

ne possède pas de solution $u$, dont l’énergie, ${\int }_{\mathbf{U}}{\left|{\nabla }_u\right|}^2$ est plus petite que $C$.