On nonhomogeneous elliptic equations involving critical Sobolev exponent

Abstract

Let $p=\frac{2\mathrm{N}}{\mathrm{N}-2}$, $\mathrm{N}\geqq 3$ be the limiting Sobolev exponent and $\Omega \subset R^{\mathrm{N}}$ open bounded set.

We show that for $f\in H^{-1}$ satisfying a suitable condition and $f\ne 0$, the Dirichlet problem:

admits two solutions $u_0$ and $u_1$ in ${\mathrm{H}}_0^1(\mathrm{\Omega })$.

Also $u_0\geqq 0$ and $u_1\geqq 0$ for $f\geqq 0$.

Notice that, in general, this is not the case if $f=0$ (see [P]).

Résumé

Soit $p=\frac{2\mathrm{N}}{\mathrm{N}-2}$ l’exposant de Sobolev critique et $\Omega \subset R^{\mathrm{N}}$ un domaine borné.

On montre que si $f\in H^{-1}$, $f\ne 0$ satisfait une certaine condition alors le problème de Dirichlet : $∆u=|u{|}^{p-2}u+f$ dans $\Omega$ et $u=0$ dans $\partial \Omega$, admet deux solutions $u_0$ et $u_1$ dans ${\mathrm{H}}_0^1(\mathrm{\Omega })$. De plus $u_0\geqq 0$ et $u_1\geqq 0$ si $f\geqq 0$.

On remarque que ce n’est pas le cas, en général, si $f=0$ (voir [P]).