On a regularizing effect of Schrödinger type groups

Abstract

We give estimates for the regularity in the space variables of solutions of Schrödinger type evolution equation with Cauchy Data in ${\mathrm{L}}^1({\mathbf{R}}^n)$. We study the behaviour of these estimates with respect to the time variable, near the origin and at infinity. This is done under the assumption of non degeneracy of the curvature of the wave surfaces. A local decay result is also given. These results are first steps in the study of nonlinear Schrödinger type evolution equations.

Résumé

Nous estimons la régularité dans les variables spatiales des solutions d’équations de type de Schrödinger non stationnaire pour des données initiales dans ${\mathrm{L}}^1({\mathbf{R}}^n)$. Nous analysons le comportement de ces solutions pour les valeurs de la variable temporelle au voisinage de l’origine et de l’infini. L’hypothèse de base concerne le non-dégénérescence de la courbure des surfaces d’ondes. Puis nous déduisons un résultat de décroissance locale des solutions. Ceci fournit la première étape d’une analyse des opérateurs non linéaires du type de Schrödinger.