Isotropic singularities of solutions of nonlinear elliptic inequalities

Abstract

If $g$ is nondecreasing function satisfying the weak singularities existence condition then all the positive solutions of $\Delta u⩽g(u)+f$ in $B_1(0)\setminus \{0\}$ where $f$ is radial and integrable in $B_1(0)$ are isotropic in measure near $0$. We apply this result to solutions of $\Delta u\pm g(u)=0$ in particular when $g(r)\sim r|r{|}^{q-1}$, $g(r)\sim e^{\beta r}$, or $g(r)=r({\mathrm{L}}_n^{+}r{)}^{\alpha }$.

Résumé

Si $g$ est une fonction croissante sur $R$ vérifiant la condition d’existence de singularités faibles et $f$ une fonction intégrable radiale dans $B_1(0)$, alors toutes les solutions positives de $\Delta u⩽g(u)+f$ dans $B_1(0)\setminus \{0\}$ sont isotropes en mesure près de $0$. Nous appliquons ce résultat aux solutions de $\Delta u\pm g(u)=0$, en particulier quand $g(r)\sim r|r{|}^{q-1}$, $g(r)\sim e^{\beta r}$ ou $g(r)=r({\mathrm{L}}_n^{+}r{)}^{\alpha }$.